Unidad 3. Actividad 9. Un derecho ciudadano
Escucha el audio que aparece a continuación.
Propósito:
Encontrarás la regularidad que relaciona una lista de cantidades.
¿Conoces tus derechos como ciudadano? ¿Has ejercido su derecho a votar? ¿Cuándo serán las próximas elecciones para presidente? Coméntalo con tu asesor o asesora.
Votar es un derecho ciudadano. En México, se realizan elecciones federales para elegir presidente; estatales para gobernador en cada uno de los estados, además de las elecciones de presidentes municipales, diputados y senadores.
Escucha el audio que aparece a continuación.
La siguiente lista muestra los últimos años en que ha habido elecciones presidenciales en México: 1946, 1952, 1958, 1964, 1970, 1976, 1982, 1988, 1994, 2000, 2006, 2012.
Contesta las siguientes preguntas:
¿Cada cuántos años hay elecciones para presidente en nuestro país?
¿A los cuántos años se puede votar?
El hijo de Víctor y Chela nació en enero de 2003. ¿Cuál es el primer año en que podrá votar para presidente?
De continuar la actual política electoral, ¿habrá elecciones en el año 2055?¿Cómo lo sabes?
¿Habrá elecciones en el año 2054 si continúa la misma política? ¿Cómo lo sabes?
Si se pudiera conservar la política a través de los siglos, ¿en el año 6002 habría elecciones? ¿Cómo lo sabes?
Con tu calculadora, divide algunos de los años en que hay elecciones entre 6. ¿Qué pasa con la parte decimal del resultado? ¿Habrá alguna razón para ello?
Divide, utilizando tu calculadora, algunos de los años en que hay elecciones entre 6, sin decimales. ¿Qué pasa con el residuo?
Supongamos que desde hace muchos años ha habido votaciones cada 6 años y que siempre será así. Si multiplico 6 por algún número y le aumento 2, ¿es un año de elecciones presidenciales? Escribe en forma algebraica la afirmación anterior.
Resuelve los ejercicios 10 al 17 de la Unidad 3, que aparecen enseguida.
Unidad 3. Actividad 9. Ejercicio 10
Escucha y contesta:
El dueño de una cadena de sanitarios compró un sistema ahorrador de agua.
El sistema le permite ahorrar las siguientes cantidades en litros de agua de acuerdo con el número de descargas de agua: 3, 7, 11, 15, 19, 23, y así sucesivamente.
Para escribir en forma algebraica el número de litros que se ahorran por descarga podemos organizar los números de 4 en 4. Fíjate que al final del reglón están los múltiplos de 4 y los podemos expresar como 4 
, donde es un número natural. Así, 4 por (1) 
4; 4 por (2) 8, y así sucesivamente.
1 5 9 13 17 21 25…. 4 
3 Por ejemplo: 4 por (1) 3=1, 4 por (2) 3 = 5 es el segundo número de esta línea.
2 6 10 14 18 22 26… 4 2
3 7 11 15 19 23 27… 4 1
4 8 12 16 20 24 28… 4
Ahora, analiza la siguiente sucesión: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22...
Escribe una expresión algebraica que la describa.
El primer número de la sucesión es 2; el segundo, 4; etcétera. ¿Qué número ocupará la posición 100 en la sucesión?
Escribe una sucesión que responda a la expresión 2
1:Escucha:
Una sucesión es un conjunto de números donde uno es designado como el primero; otro, como el segundo y así sucesivamente. Cada número de la sucesión es un término.
Las sucesiones son crecientes cuando van en aumento.
Ejemplo:
9, 18, 27, 36, ...
Son decrecientes cuando van disminuyendo.
Ejemplo:
99, 88, 77, 66, 55, ...
Unidad 3. Actividad 9. Ejercicio 11
Escribe los números faltantes en las siguientes sucesiones.
a. 7, 13, 19, 25, , , , , 43, 49, ...
b. 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, , , , , 46, …
c. 34, 35, 37, 40, , , , , 55, 62, ...
Unidad 3. Actividad 9. Ejercicio 12
Tenemos la siguiente sucesión: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49….
a. ¿Puedes encontrar cada término sumando una cantidad al término anterior?
Para continuar, haz un diagrama en tu plano cartesiano con las tachuelas, postes y las ligas. En la parte inferior izquierda coloca 4 postes a la distancia de un orificio, formando un cuadrado. Luego, ve realizando cuadrados de 3 orificios, de 4, de 5. Es importante aclarar que formarás un cuadrado dentro del otro, el más pequeño va a ser el primero y el más grande va a ser el último.
Pide a tu asesor que te muestre la impresión del diagrama que corresponde a este ejercicio, el cual se encuentra en los materiales en relieve.
Teniendo en cuenta que el cuadrado 1, que es de orificio a orificio, representa una unidad cuadrada, realiza lo que se pide:
b. Cuenta cuántas unidades cuadradas tiene el cuadrado 1, el más pequeño.
c. Cuenta cuántas unidades cuadradas tiene el cuadrado 2.
d. Cuenta cuántas unidades cuadradas tiene el cuadrado 3.
e. Cuenta cuántas unidades cuadradas tiene el cuadrado 4.
f. Considerando que una distancia de orificio a orificio representa una unidad lineal, dibuja en tu plano cartesiano un cuadrado que mida 5 unidades por lado. Cuenta el número de unidades cuadradas que tiene dicho cuadrado.
Unidad 3. Actividad 9. Ejercicio 13
Vuelve a analizar la sucesión 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49… y completa el siguiente ejercicio:
A continuación tenemos los siguientes datos, completa lo que falta.
- Número de posición en la sucesión: 1
Sucesión: 1
Es igual a: 1
1
También se puede representar como:
- Número de posición en la sucesión: 2
Sucesión: 4
Es igual a: 2 2
También se puede representar como:
- Número de posición en la sucesión: 3
Sucesión: 9
Es igual a:
También se puede representar como
:Número de posición en la sucesión.
Sucesión:
Es igual a:
También se puede representar como:
Explica por qué una forma de representar algebraicamente la sucesión anterior es 
.
Unidad 3. Actividad 9. Ejercicio 14
Escucha e imagina cómo son las pirámides.
Tenemos 5 grupos en diferentes cantidades de aros y en cada grupo están acomodados de tal manera, que forman una pirámide, solo diremos la cantidad de aros que hay en la base de la pirámide, tú deducirás cuántos forman la pirámide en total; cabe mencionar que la figura base de una pirámide, la formarías imaginando dos aros como base y uno encima de los dos.
En el grupo 1, sólo hay un aro.
En el grupo 2, en la base hay 2 aros.
En el grupo 3, en la base hay 3 aros.
En el grupo 4, en la base hay 4 aros.
En el grupo 5, en la base hay 5 aros.
Pide a tu asesor que te muestre la impresión del diagrama que corresponde a este ejercicio, el cual se encuentra en los materiales en relieve.
Responde.
¿Cuántos aros lleva el primer modelo?
¿Cuántos el segundo, tercero, cuarto y el quinto?
¿Cuántos tendrá el sexto modelo?
¿Cuántos aros tendrá el décimo modelo?
Unidad 3. Actividad 9. Ejercicio 15
Analiza las 4 siguientes figuras: son rectángulos hechos por puntos. En la figura 1, el rectángulo tiene 2 puntos de base; en la figura 2, tiene 3 puntos de base por un reglón de puntos, y así va aumentando en cada figura.
Si se denomina con al número de puntos en la base de cada figura, podemos anticipar que cada rectángulo formado tiene ( + 1) puntos en la base y puntos en la altura.
Pide a tu asesor que te muestre la impresión del diagrama que corresponde a este ejercicio, el cual se encuentra en los materiales en relieve.
a. ¿Puedes encontrar una forma rápida de conocer el total de puntos en el rectángulo?
b. ¿Estás de acuerdo en que el número de puntos en el rectángulo es (
+1) por ( )Unidad 3. Actividad 9. Ejercicio 16
Analiza la siguiente información y realiza lo que se te pide.
Caminar 30 minutos a paso rápido ayuda a perder grasa. Para peso utiliza la letra 
y para calorías la 
.
Peso: 40 kilogramos. Calorías quemadas: 256
Peso: 50 kilogramos. Calorías quemadas: 320
Peso: 60 kilogramos. Calorías quemadas: 384
Peso: 70 kilogramos. Calorías quemadas:
Peso: 80 kilogramos. Calorías quemadas: 512
Peso: 90 kilogramos. Calorías quemadas:
a. ¿Cuáles son los valores de cuando vale 70 y 90?
b. ¿Cuál es el valor de
cuando vale 53?c. ¿Qué expresión algebraica permite calcular la cantidad de calorías (c) con relación al peso (
) de la persona?d. Utilizando la expresión obtenida, calcula
cuando 68, ¿cuántas calorías quemas al caminar 30 minutos a paso rápido?f. Forma la gráfica que relaciona
con . En tu plano cartesiano puedes hacer esta relación: El orificio inferior izquierdo puedes tomarlo como el punto cero. A partir de ahí, en los orificios horizontales van los valores de (eje de las abscisas), y en los verticales, los valores de (eje de las ordenadas).Unidad 3. Actividad 9. Ejercicio 17
Escucha y completa.
Salvador llenó el tanque de gasolina de su camioneta. Al llegar a la gasolinera, la aguja marcaba 60 litros. Los siguientes datos muestran cuántos litros eran registrados a los 3 segundos, 5 segundos y así sucesivamente hasta que se llenó el tanque.
Revisa los datos que se presentan a continuación.
Tiempo: 0. Litros: 60
Tiempo: 3. Litros: 72
Tiempo: 5. Litros: 80
Tiempo: 7. Litros:
Tiempo: 9. Litros:
Tiempo: 11. Litros:
¿Cuáles son los valores de 
(litros) cuando 
(tiempo) vale 7, 9 y 11?
Escribe una expresión algebraica que permita calcular la cantidad de litros (
) con relación al tiempo ( ).Escucha el audio que aparece a continuación.
Alberto y Alejandro estudian un registro de la temperatura respecto a la altitud (altura sobre el nivel del mar). Ellos quieren saber qué expresión algebraica o fórmula permitirá conocer la temperatura ambiente a partir de conocer la altitud.
Estos son los datos del registro:
Altitud en metros: 0
Temperatura grados centígrados: 15
Altitud en metros: 1000
Temperatura grados centígrados: 8.5
Altitud en metros: 2000
Temperatura grados centígrados: 2.0
Altitud en metros:3000
Temperatura grados centígrados: -4.5
Altitud en metros: 4000
Temperatura grados centígrados: -11.0
Para plantear la ecuación, vamos a representar la altitud con la letra a y la temperatura con la letra t.
Este comportamiento de valores está regido por la ecuación t = -0.0065 a + 15; si sustituimos los valores, obtenemos los resultados de las temperaturas. Cada metro que disminuye, disminuye la temperatura -0.0065 grados centígrados. Este número se obtiene de la resta de 15 - 8.5; 8.5 - 2.0 y así sucesivamente. El número que se obtiene es constante y se divide entre 1 000, que son los valores de altitud, por eso se obtiene -0.0065 y se toma como constante.
Cuando hay una cantidad que cambia de valor cuando cambia el valor de otra, se dice que una depende de la otra.
Escucha el audio que aparece a continuación.
La cantidad de kilómetros que recorre un automóvil depende de la cantidad de gasolina.
¿Cómo podemos plantear la ecuación?
Escucha los siguientes datos.
Litros: 0
Kilómetros: 0
Litros: 1
Kilómetros: 6
Litros: 2
Kilómetros: 12
Litros: 3
Kilómetros: 18
Vamos a representar litros con la letra l, y kilómetros con la letra d.
Entonces, se dice que la variable independiente es l y la variable dependiente es d y la ecuación es:
d = 6l
Los números que no cambian se llaman constantes; en este caso, es el 6.
Resuelve el Ejercicio 18 de la Unidad 3, que aparece enseguida.
Unidad 3. Actividad 9. Ejercicio 18
Escucha la información y completa lo que falta.
El sueldo semanal de David está compuesto por una cantidad fija más comisiones por ventas. Piezas vendidas: v; sueldo: s.
Revisa los datos.
Piezas vendidas: 5. Sueldo: 275
Piezas vendidas:10. Sueldo: 300
Piezas vendidas: 50. Sueldo:
Piezas vendidas:100. Sueldo:
Piezas vendidas: 200. Sueldo:
¿Cuál es la diferencia entre vender 5 piezas y 10 piezas?
¿Cuál es la comisión por pieza?
Completa los datos para 50, 100, 200,
Escribe una expresión que relacione el sueldo con el número de piezas vendidas.
Escucha el audio que aparece a continuación.
Escucha el siguiente texto sobre las regularidades matemáticas:
Hay quienes definen las matemáticas como el estudio de las regularidades, y es que en la naturaleza se han encontrado regularidades insospechadas, incluso en situaciones completamente desordenadas, que han podido ser expresadas a través de símbolos y de las relaciones matemáticas.
Las telarañas, los panales de las abejas, los caminos de las hormigas, los ciclos de la luna, los de la Tierra y, en general, los espacios, pueden describirse por medio de los elementos que aportan las matemáticas. Incluso el crecimiento de las plantas, los animales y el desarrollo de sociedades que presentan regularidades numéricas y geométricas que pueden estudiarse a partir de fundamentos matemáticas.
Actualmente, las matemáticas han desarrollado conocimientos que permiten estudiar la formación de montañas y de islas, la producción de terremotos, de caídas bursátiles (negocios) y de otros fenómenos que representan desastres para la vida humana.
En efecto, las regularidades que pueden encontrarse en innumerables situaciones, permiten sistematizar y predecir comportamientos futuros, por lo que las matemáticas dan gran importancia al estudio de las regularidades que se encuentran por todos lados y, en especial, en las relaciones numéricas que rigen procesos naturales, económicos y sociales.
Pero las matemáticas van más allá y estudian las relaciones y regularidades numéricas y geométricas encontradas en su propia estructura. Para ejemplo, basta un botón. En el siglo XVIII, Carl Friedrich Gauss, un matemático que se ganó el apelativo de “Príncipe de las matemáticas”, apenas cumplidos 10 años, percibió una regularidad matemática interesante. Fue cuando el maestro pidió al grupo que sumaran los números del 1 al 100. Gauss rápidamente encontró que la suma del primer y último números (1+100) era igual a 101.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 …..98 + 99 + 100
Que la suma del segundo y penúltimo números (2 + 99) era también 101 y que los siguientes (3 + 98) sumaban 101, y que en total había 50 pares de números que sumaban 101, por lo que era más rápido multiplicar 101 x 50 que sumar número por número.
Así es, encontrar regularidades puede ahorrar trabajo, lo cual es una de las razones más importantes de ser de las matemáticas, pues siempre buscan optimizar el trabajo, el tiempo, el dinero y el esfuerzo.
Las regularidades también están relacionadas con la belleza, toque la forma de un caracol, una telaraña, el centro de un girasol, los adornos de las iglesias y ponga mucha atención en los tejidos y bordados que hacen los artesanos mexicanos, ¡son bellísimos!
Contesta las preguntas de la sección “Para saber más” de la unidad 3.
Para saber más
Responde las siguientes preguntas.
¿Cuál es el tema de la lectura que acabas de escuchar?
¿Te parece interesante?
¿Qué tipo de regularidades encuentras a tu alrededor?