:: Matemáticas propedéutico para el bachillerato:: Bloque B:: Actividad 17
         
         
  Identificará y aplicará los productos notables y algunos métodos de factorización.
         
     
Revisemos el caso de la caja cúbica de manzanas.

Las manzanas son transportadas en cajas de cartón de forma cúbica, como la de la siguiente ilustración.

¿Cuál es la expresión que representa el área de una de las caras de la caja?, ¿Cuál representa al volumen de la caja cerrada?

       
     

El área de una cara se expresa (3a - 5)2, recuerde que esta expresión se le denomina como el cuadrado de un binomio y a su desarrollo, 9a2 - 30a + 25, se le denomina trinomio cuadrado perfecto. Note que este trinomio cuadrado perfecto, también se puede obtener aplicando la siguiente fórmula:

(x - y)2 = x2 -2xy +y2


y haciendo x = 3a y y = 5. Sustituimos estos valores.

Complete el siguiente desarrollo escribiendo su respuesta en los espacios

 

       
     
       
       

También se puede calcular directamente usando la regla: Cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo término más el cuadrado del segundo término.

Análogamente, para el volumen de la caja cerrada se puede usar la fórmula:

Escriba la correspondiente en los espacios y complete el desarrollo hasta obtener el polinomio de la respuesta.

       
     
       
       
Los productos notables son fórmulas que facilitan los cálculos y desarrollo de multiplicaciones de polinomios más sofisticadas.
       
     
Los productos notables
         
        Lea y analice la siguiente información.
         
       
En algunos casos es conveniente el uso de fórmulas para realizar las multiplicaciones. A estas fórmulas se les llaman productos notables. Enseguida se muestran algunos de ellos. Presione sobre los productos notables o los nombres típicos.
       
       
       
       

Analice cómo en los dos ejemplos que siguen se aplican algunos de los productos notables.

Ejemplo 1.

¿Cuál es el resultado de (6m - 8) (6m + 8)?

Hacemos a = 6m, b = 8 y usamos el producto notable 4 (a- b)(a + b) = a2 - b2 y sustituimos los valores de a y b:

(6m - 8) (6m + 8) = (6m)2- 82
(6m - 8) (6m + 8) = 36m2 - 64

Ejemplo 2.

¿Cuál es el resultado de (2k + 3) (2k - 1)?

Hacemos x = 2k, a = 3 y c = -1 y sustituimos estos valores en el producto notable 5: (x + a) (x + c) = x2+ (a + c )x + ac

(2k + 3) (2k - 1)=(2k)2 + (3 - 1)(2k) + (3)(-1)
(2k + 3) (2k - 1) = 4k2 + (2)(2k) - 3
(2k + 3) (2k - 1) = 4k2 + 4k - 3

       
     

Usando el producto notable apropiado, obtenga el resultado de ( 5w3- )2

Arrastre la respuesta correcta al recuadro

       
     
       
     
La factorización
       
       
Lea y analice la siguiente información.

Los productos notables también son utilizados en la factorización. Observe que (6) (4) = 24, pero si se desea saber cuáles son los números que dieron lugar al 24 en una multiplicación, entonces se tendrá que aplicar una factorización, es decir, 24 = (6) (4) ó 24 = (3) (8); 24 = (24) (1)
Así los productos notables, también podrán ser utilizados como fórmulas de factorización.

       
       
       
       
Observe cómo en los ejemplos que siguen, se aplican las fórmulas de factorización.

Ejemplo 1:
¿Cuál es la factorización de x2 - 3x = 0

Solución: x ( x – 3)=0 Rocío observó que x es factor común, por lo tanto, los factores de x2- 3x son: x y x - 3

Ejemplo 2:
¿Cuál es la factorización de x2- 8x + 12 = 0?

Solución: (x - 6)(x - 2) = 0. Leobardo pudo factorizar esta expresión con la fórmula x2+ (a + c)x + ac = (x+a)(x+c)
x2+(-6-2)x + (-6)(-2)= (x-6)(x-2)


En este caso se buscaron dos números que multiplicados dieran 12 y sumados dieran – 8.

       
     
Factorice las siguientes expresiones algebraicas.
De las opciones de respuestas, arrastre a los recuadros del centro, la que considere correcta en cada caso.
       
     
       
     
Si el área de un rectángulo está dada por la expresión 3a3-5a2, ¿cuáles son las expresiones para su ancho y largo? Presione el botón comparar y coteje su respuesta.
       
     
       
     
Presione sobre el inciso que contenga la respuesta correcta de las siguientes preguntas:
       
     
¿Cuáles son los dos factores que multiplicados entre sí dan la expresión
81x4 - 36r2?
       
     
       
     
¿Cuál es la factorización de 9a2 - 30a + 25?
       
     
       
     
¿Cuál es la factorización de 5x2 - 15x?
       
     
       
     
x2 - 3x + 2 =
       
     
       
     
¿Cuál es el resultado de (4y - 7)2?
       
     
       
     
¿Cuáles son las dimensiones del siguiente terreno?
       
     
       
     
       
     
¿Cuál es el resultado de (9n -2)(9n +3)
       
     
       
     
¿Cuál es la expresión algebraica para la arista de una caja cúbica cuyo volumen está dado por a3 + 3a2b + 3ab2 + b3?