Unidad 4 Ecuaciones de primer grado Tema 2 Ecuaciones de la forma x + a = b y a – x = b
12El cambio
Propósito: Resolverás problemas que involucran ecuaciones de la forma x + a = b y a – x = b
¿Te ha pasado que vas a comprar y no hay cambio?, ¿has salido de la tienda con la duda de si te habrán dado bien el cambio o te dieron de más o de menos?
Dar y recibir cambio es una situación tan cotidiana que pareciera no tener ningún problema. Sin embargo, con mucha frecuencia dudamos si el cambio que dimos o recibimos fue correcto.
1)
Bety es cajera de una zapatería. Esta mañana tuvo que cobrar $178.00 de un billete de $200.00. Ella le preguntó al cliente si traía cambio y él le dijo que sólo traía $3.00, ella aceptó. ¿Cuánto tiene que regresar de cambio?
A)
¿Cuál es la incógnita del problema? Es decir, ¿cuál es la pregunta que hay que responder?
Respuesta: La cantidad de dinero que tiene que regresar de cambio.
B)
Escribe una letra que represente la incógnita.
Respuesta: La letra que tú hayas elegido.
C)
Para plantear una ecuación que te permita conocer la incógnita, escribe el dinero que el cliente está pagando más (+) el cambio que le solicitó la cajera:
Respuesta: 200 + 3.
Esto será el primer miembro de tu ecuación (no realices la operación).
D)
Escribe el precio de los zapatos más (+) el cambio que, en este caso, está representado por la letra que elegiste. Esto será el segundo miembro de tu ecuación.
Respuesta: 178 + m(la letra que hayas elegido).
Esto será el segundo miembro de tu ecuación.
E)
Escribe la ecuación completa.
Respuesta: 200 + 3 = 178 + m.
F)
Para resolver la ecuación, realiza la operación indicada en el primer miembro de la ecuación.
Respuesta: 203 = 178 + m.
Ahora tienes que despejar la incógnita, es decir, dejarla sola en un lado de la ecuación. Recuerda que para conservar la igualdad, si aumentas o disminuyes algo de un lado, lo tienes que hacer del otro.
G)
¿Cuánto tienes que restar en el segundo miembro de la ecuación para dejar sola a la incógnita?
Respuesta: 178.
¿Cuánto tienes que restar al primer miembro?
Respuesta: 178.
H)
Realiza la operación.
Respuesta: 203 – 178 = 178 – 178 + m
25 = mó m = 25.
I)
¿Cuánto tiene que regresar Bety de cambio?
Respuesta: $25.00.
J)
Si el cliente le hubiera dado $28.00, ¿con qué ecuación podría conocer el cambio que tendría que darle?
Respuesta: 200 + 28 = 178 + m
228 = 178 + m.
K)
¿Cuál sería la cantidad?
Respuesta: $50.00
Observa cómo Ramona resuelve una situación similar.
2)
Araceli es supervisora de calidad. Encontró que los refrescos de litro y medio traen menor cantidad. ¿Cuál es la cantidad de líquido que falta a un envase?
A)
¿Cuál es la incógnita del problema?
Respuesta: La cantidad de líquido que falta al envase.
B)
Elije una letra para representar la incógnita.
Respuesta: La letra que tú hayas elegido.
C)
Al medir la cantidad de refresco que trae el envase, encontró que sólo trae 1.32 litros. Escribe el contenido total del envase como la suma de lo que trae más lo que le falta, es decir, más la incógnita.
Respuesta: 1.32 + xLa letra que hayas elegido.
D)
Plantea la ecuación escribiendo en un miembro la suma que acabas de escribir y en el segundo miembro el total de refresco que debería traer.
Respuesta: 1.32 + x = 1.5
E)
¿Qué necesita hacer para conocer el valor de la incógnita?
Respuesta: Despejarla y hacer la operación indicada.
F)
¿Qué cantidad de refresco falta a un envase?
Respuesta: 0.18 litros
•
Para plantear una ecuación que dé respuesta a un problema es necesario:
A.
Leer con detenimiento el problema.
B.
Analizar cómo están relacionados los datos del problema. Si es necesario, hacer un dibujo de los elementos del problema.
C.
Encontrar cuál es la pregunta que se quiere responder y elegir una letra que represente la cantidad desconocida o incógnita.
D.
Plantear la ecuación que representa la situación.
E.
Asegurarte que la ecuación representa las relaciones que indica el problema y que los miembros de la ecuación son equivalentes.
F.
Resolver la ecuación.
G.
Verificar que la respuesta cumple con las condiciones del problema.
3)
La temperatura del horno estaba a 250 °C y el pastel debió hornearse a 180 °C, ¿por cuántos grados se pasó el horno?
A)
¿Cuál es la incógnita?
Respuesta: Los grados de más a los que se calentó el horno.
B)
Elige una letra para representar la incógnita.
Respuesta: La letra que hayas elegido.
C)
Escribe la temperatura a la que estaba el horno y réstale los grados que le sobraban.
Respuesta: 250 – yLa letra que hayas elegido.
¿A qué debe ser igual lo anterior?
Respuesta: A 180.
D)
Escribe la ecuación completa y resuélvela.
Respuesta: 250 – y = 180 y =70
4)
Lucía tiene 7 años, ¿cuántos años le faltan para poder votar?
A)
¿A los cuántos años de edad se obtiene el derecho a votar en nuestro país?
Respuesta: 18 años.
B)
Plantea una ecuación que relacione los datos del problema y resuélvela.
Respuesta:
x + 7 = 18 x = 11
5)
Paty pagó $167.00 por unos tenis que costaban $217.00. ¿Cuánto le descontaron?
A)
Plantea una ecuación que relacione los datos del problema y resuélvela.
Respuesta:
x + 167 = 217 ó 217 – x = 167
B)
¿Cuánto le descontaron?
Respuesta: $50.00
6)
Mary compró $286.00 de mercancía. Al pagar con un billete de $500.00, la cajera le pidió $36.00 más. ¿Cuánto dinero tiene que regresarle de cambio?
A)
Plantea una ecuación para resolver el problema.
Respuesta:
Una forma de plantear la ecuación es: 500 + 36 = x + 286
Tu pudiste haberla planteado diferente.
Verifica tu razonamiento.
B)
Resuélvela y escribe tu resultado.
Respuesta: x = 250
C)
¿Cuánto hubiera tenido que regresarle de cambio la cajera si doña Mary le hubiera dado $86.00 más en lugar de los $36.00? Plantea una ecuación para resolver el problema y calcula el valor de la incógnita.
Respuesta: x = 300
7)
Resuelve las siguientes ecuaciones y escribe el valor de la incógnita.
A)
a + 23 = 45
Respuesta: a = 22
B)
89 – b = 97
Respuesta: b = -8
C)
m – 56 = 206
Respuesta: m = 262
D)
5 = c – 9
Respuesta: c = 14
•
Para resolver una ecuación de la forma x + a = b, donde x es la incógnita, se resta a en ambos lados de la ecuación:
x + a = b
Como a – a = 0, entonces:
x + a – a = b – a
Ejemplo:
x= b – a
x + 65 = 135 x + 65 – 65 = 135 – 65 x = 135 – 65 x = 70
•
Para resolver una ecuación de la forma a – x = b, donde x es la incógnita, se resta a en ambos lados de la ecuación:
a – x = b
Como a – a = 0
a – a – x = b – a
– x = b – a
•
Para que el valor de x quede positivo, se multiplican ambos miembros de la ecuación por (–1)
Ejemplo:
x = – b + a
45 – x = 8
45 – 45 – x = 8 – 45
– x = 8 – 45
– x = – 37 x = 3