Unidad 3 Expresiones algebraicas Tema 2 Regularidades y patrones
9Un derecho ciudadano
Propósito:Encontrarás la regularidad que relaciona una lista de cantidades.
¿Conoces tus derechos como ciudadano?, ¿has ejercido tu derecho a votar?, ¿cuándo serán las próximas elecciones para presidente?
Comenta con un familiar, un amigo o tu asesor tus respuestas.
Votar es un derecho ciudadano. En México se realizan elecciones para elegir presidente, gobernador en cada uno de los estados, presidentes municipales, diputados y senadores.
1)
La siguiente lista muestra los últimos años en que ha habido elecciones presidenciales en México.
¿Cada cuántos años hay elecciones para presidente en nuestro país?
Respuesta: Cada 6 años
¿A los cuántos años puede votar un ciudadano?
Respuesta: A los 18 años.
B)
El hijo de Víctor y Chela nació en enero de 2003, ¿cuál es el primer año en que podrá votar para presidente?
Respuesta: 2024
C)
De continuar la actual política electoral, ¿habrán elecciones en el año 2055? ¿Cómo lo sabes?
Respuesta: No. Sumando de 6 en 6.
D)
¿Habrán elecciones en el año 2054 si continúa la misma política? ¿Cómo lo sabes?
Respuesta: Sí sumando de 6 en 6.
E)
Si la política no cambiara a través de los siglos, ¿en el año 6002 habrán elecciones?
Respuesta: Sí
F)
Con tu calculadora, divide algunos de los años en que hay elecciones entre 6, ¿qué pasa con la parte decimal del resultado?
Respuesta: Es igual en todos
¿Habrá alguna razón para ello?
Respuesta: Sí, porque el residuo es el mismo.
G)
Divide, usando lápiz y papel, algunos de los años en que hay elecciones entre 6, sin decimales. ¿Qué pasa con el residuo?
Respuesta: Siempre es 2
H)
Tomando en cuenta que a partir de de 1934 se han efectuado elecciones presidenciales cada 6 años, ¿puedes calcular desde ese año a la fecha, en qué año se realizaron elecciones presidenciales multiplicando por 6 algún número y sumando 2 al producto?
Respuesta: Sí
I)
Escribe en forma algebraica la afirmación anterior.
Respuesta: 6x + 2
Analiza el razonamiento de Antonio y Alejandro para resolver un problema similar.
El dueño de una cadena de sanitarios compró un sistema ahorrador de agua. El sistema le permite ahorrar las siguientes cantidades en litros de agua de acuerdo con el número de descargas de agua: 3, 7, 11, 15, 19, 23, ...
•
Una sucesión es un conjunto de números que cumplen con una regularidad o patrón, en la que el primero es designado como el primero término; el segundo, como el segundo término y así sucesivamente.
•
Las sucesiones pueden ser crecientes, cuando van en aumento.
Ejemplo.
•
Son decrecientes cuando van disminuyendo.
Ejemplo.
99, 88, 77, 66, 55,...
2)
Analiza la siguiente sucesión.
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ...
A)
Escribe una expresión algebraica que la describa.
Respuesta: 2n
B)
El primer número de la sucesión es 2; el segundo, 4; etcétera. ¿Qué número ocupará la posición 100 en la sucesión?
Respuesta: 200
3)
Escribe una sucesión que responda a la expresión 2n – 1.
Escribe los términos faltantes en las siguientes sucesiones.
A)
7, 13, 19, 25,
,
,
43, 49, …
Respuesta: 31, 37
B)
156, 151, 146, 141,
,
,
, ...
Respuesta: 136, 131, 126
C)
1, 2, 4, 7, 11, 16, 22,
,
, 46, ...
Respuesta: 29, 37
D)
34, 35, 37, 40,
,
, 55, 62, ...
Respuesta: 44, 49
Cada número de una sucesión ocupa un lugar (n) en ésta.
Por ejemplo en la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,
El número 1 es el primer número de la sucesión
y su posición es: n = 1
El número 3 es el segundo número de la sucesión
y su posición es n = 2
El número 5 es el tercer número de la sucesión
y su posición es n = 3
El número 17 es el noveno número de la sucesión
y su posición es n = 9
Y así sucesivamente.
5)
Analiza la siguiente sucesión.
6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41 ...
A)
Escribe una expresión algebraica que la describa.
Respuesta: 5n + 1
B)
¿Qué número va en la novena posición de la sucesión?
Respuesta: 5(9) + 1 = 46
C)
¿Qué número va en la posición 50 de la sucesión?
Respuesta: 251
6)
Analiza la siguiente sucesión y responde.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 ...
A)
¿Puedes encontrar cada término sumando una cantidad al término anterior?
Respuesta: NO
Para continuar, analiza el siguiente diagrama.
Teniendo en cuenta que cada representa una unidad cuadrada, realiza lo que se te pide.
B)
Escribe cuántas unidades cuadradas tiene el cuadrado azul claro.
Respuesta: 1
C)
Escribe cuántas unidades cuadradas tiene el cuadrado azul marino.
Respuesta: 4
D)
Escribe cuántas unidades cuadradas tiene el cuadrado negro.
Respuesta: 9
E)
Escribe cuántas unidades cuadradas tiene el cuadrado café.
Respuesta: 16
F)
Teniendo en cuenta que cada representa una unidad lineal, dibuja en el diagrama un cuadrado que mida 5 unidades por lado.
Para dibujar cada lado haz clic en el punto en que inicia y después en el que termina.
Escribe cuántas unidades cuadradas tiene dicho cuadrado.
Respuesta: 25
G)
Si dibujaras un cuadrado de 6 unidades por lado, ¿cuántas unidades cuadradas tendría? ¿Cómo lo supiste?
Respuesta: 36. Multiplicando por si mismo el número de unidades que tiene por lado.
H)
Si representamos con l al número de unidades por lado que tiene cualquier cuadrado, ¿con qué fórmula calculamos su área?
Respuesta: A= l × l = l2
I)
Vuelve a analizar la sucesión y completa la tabla que está enseguida.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
J)
Explica por qué una forma de representar algebraicamente la sucesión anterior es n2.
Respuesta: Porque los elementos de la sucesión corresponden al cuadrado del número de posición en la sucesión.
7)
Estudia los tamaños de los juegos infantiles compuestos por aros y realiza
lo que se te indica.
A)
¿Cuántos aros lleva el primer modelo? ¿Cuántos el segundo, tercero, cuarto
y quinto?
Respuesta: 1, 3, 6, 10, 15
B)
Arrastra al recuadro los aros necesarios para formar el sexto modelo.
C)
¿Cuántos aros tendrá el décimo modelo?
Respuesta: 55
D)
Analiza las siguiente sucesiones y busca la relación con la sucesión anterior.
Respuesta: Los elementos correspondientes en las sucesiones tienen el mismo número de puntos o de aros.
E)
Analiza los siguientes diagramas rectangulares.
¿Cuántos puntos tiene cada diagrama?
Respuesta: 2, 6, 12, 20
F)
¿Escribe una forma rápida de saber el número de puntos de cada diagrama?
Respuesta: Sí, multiplicando el número de puntos de un lado, (base) por el número de puntos del otro lado (altura).
Si se denomina con n al número de puntos que tiene en la base cada elemento de la sucesión, podemos ver que al completar con puntos rojos un rectángulo, el rectángulo formado tiene (n + 1) puntos en la base y n puntos en la altura.
G)
En el rectángulo formado, ¿hay igual cantidad de puntos rojos que amarillos?
Respuesta: Sí
H)
¿Escribe una forma rápida de conocer el total de puntos en el rectángulo?
Respuesta: Multiplicando el número de puntos de un lado (base), por el
número de puntos del otro lado (altura).
I)
¿El número de puntos en el rectángulo es (n) (n + 1)?
Respuesta: Sí
¿Por qué?
Respuesta: Porque si representamos el número de puntos de un lado con la letra n, entonces podemos representar el número de puntos del otro lado con la expresión n + 1, que al multiplicarse queda como (n) (n+1) o (n+1) (n).
J)
Después de conocer el total de puntos del rectángulo, ¿qué operación te falta hacer para conocer sólo el número de puntos amarillos?
Respuesta: Dividir entre 2
K)
Haz clic en la expresión algebraica que permite calcular el número de aros del juego infantil.
8)
Analiza la siguiente información:
Caminar 30 minutos a paso rápido ayuda a perder grasa.
A)
¿Escribe en la tabla los valores de c cuando p vale 70 y 90 kilogramos?
B)
¿Cuál es valor de c cuando p vale 53?
Respuesta: 339.2
C)
¿Qué expresión algebraica permite calcular la cantidad de calorías ( c ) quemadas con relación al peso ( p) de la persona?
Respuesta: c = 6.4 p
D)
Utilizando la expresión obtenida, calcula c cuando p = 68.
Respuesta: c = 6.4 (68) = 435.2
E)
Realiza la gráfica que relaciona p con c.
Localiza cada punto en el plano cartesiano. Haz clic en el lugar que corresponde a cada uno.
Al terminar de ubicar los puntos haz clic en el botón graficar.
9)
Salvador llenó el tanque de gasolina de su camioneta. Al llegar a la gasolinera, la aguja marcaba 60 litros. La tabla muestra cuántos litros eran registrados a los 3 segundos, a los 5 segundos y así sucesivamente hasta que se llenó el tanque.
Tiempo en segundos (l)
0
3
5
7
9
11
Litros (l)
60
72
80
Respuesta: 88, 96, 104
A)
¿Escribe en la tabla los valores de l cuando t vale 7, 9 y 11?
B)
Escribe una expresión algebraica que permita calcular la cantidad de litros ( l ) con relación al tiempo ( t ).
Respuesta: l = 4t + 60
Observa cómo Alberto resuelve la siguiente situación.
Alberto y Alejandro observan un registro de la temperatura respecto a la altitud (altura sobre el nivel del mar). Ellos quieren saber qué expresión algebraica o fórmula permitirá conocer la temperatura ambiente a partir de conocer la altitud.
Altitud en metros (a)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
8000
Temperatura oC (l)
15
8.5
2.0
-4.5
-11.0
Respuesta: -17.5, -24, -37
10)
El sueldo semanal de David está compuesto por una cantidad fija más
comisiones por ventas.
Número de piezas vendidas (p)
5
10
Sueldo semanal (s)
275
300
Respuesta: 500, 750, 1250
A)
¿Cuál es la diferencia entre vender 5 piezas y 10 piezas?
Respuesta: 25
B)
¿Cuál es la comisión por pieza?
Respuesta: 5
C)
Completa la tabla.
Número de piezas vendidas (p)
5
10
50
100
200
Sueldo semanal (s)
275
300
D)
Escribe una expresión que relacione el sueldo con el número de piezas vendidas.
Respuesta: S = 5y+ 250
11)
Analiza los datos de la siguiente tabla.
(x)
0
5
7
9
11
(y)
45
80
94
108
122
A)
¿Cómo varían los valores de y con respecto a la variación de los valores de x?
Respuesta: y aumenta 7 por cada 1 que aumenta x.
B)
¿Cuál es la expresión algebraica que representa la relación de la tabla?
Respuesta: y = 7x + 45
C)
Construye la gráfica, al localizar cada punto en el plano cartesiano. Haz clic en el lugar que corresponde a cada uno. Para borrar un punto de los que has ubicado coloca la punta de la flecha sobre él y haz clic; después, haz clic en limpiar.
(x)
0
5
7
9
11
(y)
45
80
94
108
122
Al terminar de ubicar los puntos haz clic en el botón gráfica.
•
Cuando hay una cantidad que cambia de valor cuando cambia el valor de otra, se dice que una depende de otra.
Ejemplo:
La cantidad de kilómetros que recorre un automóvil depende de la cantidad de gasolina.
Litros (l)
0
1
2
3
4
5
6
Kilómetros (d)
0
6
12
18
24
30
36
•
Entonces se dice que la variable independiente es l y la variable dependiente es d:
d = 6 l
•
Los números que no cambian se llaman constantes y en ese caso, es el 6.